ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΑΡΧΗ 1

 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Α) Μέτρηση-Λογικος Τρόπος 

Π1 ο πρώτος αριθμός είναι το 0 

Π2 ο μόνος αριθμός του οποίου το πρώτο ψηφίο είναι το 0 είναι το 0

Π3 εάν κάποιος αριθμός έχει όλα τα ψηφία του 1 ,τότε ο επόμενος έχει πρώτο ψηφίο το 1 και δεξιά του τόσα μηδενικά όσα ψηφία του προηγούμενου 

Π4 εάν κάποιος αριθμός έχει τελευταίο ψηφίο το 1 και τουλάχιστον ένα μηδενικό ως ψηφίο ,τότε ο επόμενος προκύπτει όπως θέτουμε το 1 στη θέση του τελευταίου 0 του προηγούμενου και δεξιά αυτού τόσα 0 έτσι ώστε ο επόμενος να έχει το ίδιο πλήθος ψηφίων με το προηγούμενο 

Π5 εάν κάποιος αριθμός έχει τελευταίο ψηφίο το 0 ,τότε ο επόμενος προκύπτει όπως αντικαθιστουμε το τελευταίο 0 του προηγούμενου με το 1 

Άσκηση 1

Ο επόμενος του 0 είναι το 1

Απόδειξη 

Το 0 τελειώνει σε 0 οπότε ο επόμενος προκύπτει όπως αντικαθιστουμε στο τελευταίο 0 του προηγούμενου το 1 ,από Π5

Άσκηση 2

Ο επόμενος του 1 είναι το 10

Απόδειξη 

Το 1 έχει όλα τα ψηφία 1 οπότε ο επόμενος έχει ως πρώτο ψηφίο το 1 και δεξιά του τόσα μηδενικά όσα τα ψηφία του προηγούμενου, δηλαδή ένα 0, οπότε είναι το 10, από Π3

Άσκηση 3

Ο επόμενος του 10 είναι το 11

Απόδειξη 

Το τελευταίο ψηφίο του 10 είναι το 0 οπότε ο επόμενος προκύπτει όπως αντικαθιστουμε το τελευταίο ψηφίο του προηγούμενου με το 1, άρα προκύπτει το 11, από Π5

Άσκηση 4

Ο επόμενος του 111011011 είναι ο 111011100, 

Απόδειξη 

Ο 111011011 έχει τελευταίο ψηφιο το 1 και τουλάχιστον ένα 0 ως ψηφίο (0 έχει στη 4η και 7η θεση) οπότε ο επόμενος προκύπτει όπως αντικαθιστουμε το 0 στην 7η θέση με το 1 και δεξιά του θέτουμε τόσα 0 έτσι ώστε ο αριθμός που προκύπτει να έχει το ίδιο πλήθος ψηφίων με τον 111011011, δηλαδή δύο 0. Οπότε προκύπτει ο 111011100, από Π4

Β) Διάταξη 

Π6 Ο επόμενος κάθε αριθμού είναι μεγαλύτερος από αυτόν τον αριθμό 

Π7 έστω χ,ψ,ζ αριθμοί με χ μεγαλύτερο του ψ και ψ μεγαλύτερο του ζ ,τότε χ είναι μεγαλύτερο του ζ

Ορισμός του μικρότερου, χ είναι  μεγαλύτερος από τον ψ τότε και μόνο τότε το ψ είναι μικρότερος από το χ.